Περιεχόμενα

Ενδεικτικό Κεφάλαιο

Δείτε το στον ΕΥΔΟΞΟ

Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί ουσιώδες μέρος του μαθηματικού υπόβαθρου πολλών επιστημονικών κλάδων με εφαρμογές σε όλους σχεδόν τους τομείς των Μαθηματικών, της Φυσικής, της Μηχανικής, των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής, της Οικονομίας, της Χημείας, Βιολογίας κ.λπ. Αποτελεί κατά κύριο λόγο ένα βασικό εργαλείο μελέτης προβλημάτων λύσης γραμμικών εξισώσεων και κατ' επέκταση γραμμικών συστημάτων. Γενικά η επίλυση εξισώσεων αποτελεί πρωταρχικό πρόβλημα της Άλγεβρας, που αποτελεί έναν από τους αρχαιότερους κλάδους των Μαθηματικών, και της οποίας σημαντικός κλάδος είναι η Γραμμική Άλγεβρα.
Η έννοια των "αγνώστων" στην Άλγεβρα προέρχεται από την Ινδία και εμφανίστηκε στην Ευρώπη, μέσω των Αράβων, την περίοδο της Αναγέννησης. Η επίλυση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθμού ήταν γνωστή από την αρχαιότητα, ενώ οι G. Gardano και L. Ferrari προχώρησαν στην επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων τρίτου και τέταρτου βαθμού. Οι N.H. Abel και E. Galois οδηγήθηκαν στην απόδειξη μη ύπαρξης αλγεβρικής λύσης για εξισώσεις μεγαλύτερου βαθμού, με αποτέλεσμα η μελέτη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων να δώσει αφορμή για την εισαγωγή των εννοιών του πεδίου και της θεωρίας ομάδων της Άλγεβρας, όπως εκείνος της "Αφηρημένης Άλγεβρας", η οποία αναπτύχθηκε ιδιαίτερα τον 20ό αιώνα μέσα στη γενική ατμόσφαιρα αριθμοποίησης, αξιωματοποίησης και γενικευμένης θεώρησης των Μαθηματικών.
Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα με βασικό στόχο να βοηθήσει τους φοιτητές των θετικών κυρίως επιστημών στην πρώτη τους επαφή με τις έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας. Είναι ένα πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας, όπου η θεωρία παρακινείται και ενισχύεται από εφαρμογές με κυρίαρχο σκοπό την κατανόηση. Είναι δομημένο με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει αφενός μεν την αυστηρότητα και το κατάλληλο επίπεδο της μαθηματικής ακρίβειας και αφετέρου την ευελιξία που απαιτείται για τις εφαρμογές. Η προσπάθειά μας είναι συγκεντρωμένη περισσότερο στην κατανόηση και λιγότερο σε θεωρήματα και αποδείξεις, χωρίς βέβαια να παραλείπεται η μαθηματική αυστηρότητα.
Το βιβλίο αποτελείται από οκτώ κεφάλαια, καθένα από τα οποία περιέχει το βασικό θεωρητικό μέρος και πλήθος εφαρμογών και παραδειγμάτων. Έτσι, το Κεφάλαιο 1 αποτελεί ένα εισαγωγικό μέρος με τις ήδη γνωστές θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που χρησιμοποιούνται στα επόμενα. Στη συνέχεια (Κεφάλαια 2 και 3) παρουσιάζονται οι ευκλείδειοι χώροι, που αποτελούν τους "πραγματικούς διανυσματικούς χώρους" και είναι η απλούστερη μορφή χώρων, οι οποίοι στη συνέχεια γενικεύονται σε διανυσματικούς χώρους, μία πιο "αφηρημένη" μορφή, οι οποίοι και αποτελούν τη βάση της Γραμμικής Άλγεβρας. Εδώ φαίνεται καθαρά η απλή φυσική μετάβαση από μία ευθεία ή ένα επίπεδο στο n-διάστατο χώρο . Οι γραμμικές απεικονίσεις και οι πίνακες, βασικά επίσης στοιχεία της Γραμμικής Άλγεβρας, αποτελούν χρήσιμα εργαλεία στη λύση γραμμικών προβλημάτων και την "αλγεβροποίηση" και επομένως επίλυση προβλημάτων Οικονομίας, Φυσικής, Βιολογίας, Μαθηματικών κ.λπ. (Κεφάλαια 4 και 5). Στο Κεφάλαιο 7 αντιμετωπίζεται η λύση γραμμικών εξισώσεων, και κατ' επέκταση γραμμικών συστημάτων, κυρίαρχων προβλημάτων της Γραμμικής Άλγεβρας, με την παρουσίαση τρόπων εύρεσης λύσεων μέσω της θεωρίας των οριζουσών (Κεφάλαιο 6) και της γενικής θεωρίας πινάκων (Κεφάλαιο 5). Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται χαρακτηριστικά μεγέθη ενός πίνακα, όπως ιδιοδιανύσματα, ιδιοτιμές, ιδιόχωροι, χαρακτηριστικά πολυώνυμα κ.λπ. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα οδηγούν στη λύση εξισώσεων που εξελίσσονται σε δυναμικά προβλήματα, πέρα από το στατικό πρόβλημα A * x = B, που παρέχουν πληροφορίες που δεν είναι προφανείς από τον ίδιο τον ίδιο πίνακα. Άμεσες εφαρμογές είναι η Aριθμητική Γραμμική Άλγεβρα, που αποτελεί τη βάση για μαθηματικούς υπολογισμούς και μία πρώτη εισαγωγή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό. Τέλος, παρουσιάζεται η διαγωνοποίηση ενός πίνακα πριν από τη μορφή Jordan.
Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει κατάλογος συγγραμμάτων που συμβουλεύτηκε ο συγγραφέας και στα οποία μπορεί να καταφύγει ο αναγνώστης για περαιτέρω μελέτη και εμβάθυνση των σχετικών εννοιών.